读 项武义《基础几何学》的一些体会

分隔公理排除了球面（$S^n$）

三角形的叠合公理（SAS）等价于要求平面上的度量是常值曲率度量。因此只能曲率恒为0或恒为一个负数。


如果没有分隔公理，本书前面的叙述无法区分讨论的是一般所讲的平面还是球面。所以分隔公理很重要，直接说我们说的不是球面。

最后很多书包括这本也把曲率小于0的常曲率空间几何称为非欧几何。但是从中文字面意思上理解，非欧几何应该包括球面几何，因为球面几何当然不是欧氏几何。（个人见解）

我理解为，在分隔公理下，还有在SAS公理下, 也就是讨论 $R^n$，上面的几何，分欧氏几何和非欧几何。



所以反过来，如果没有分隔公理和SAS公理。局部的使用三角形内角和大于等于小于 $\pi$，可以定义曲率大于等于小于0

项老写的非常好。可以在此基础上，用极限的方式去定义某一点的曲率。好像俄罗斯人有写的。如果能把这部分的内容写清楚的话，那就拓宽了曲率的定义，也就是不需要二阶连续可微也可定义。

discussed with Jiuru Zhou

May 11, 2017